Hermitian 矩陣特徵值的變化界定

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在“二次型與正定矩陣”一文,我們曾經介紹對稱矩陣的特徵值與特徵向量於最佳化問題的用途,本文延續該文的討論並進一步將定義於實數域的對稱矩陣推廣至 Hermitian 複數矩陣(請參閱背景文章“特殊矩陣 (九):Hermitian 矩陣”)。設 An 階 Hermitian 方陣,對於 \mathcal{C}^n 中的任意向量  \mathbf{x},二次型 \mathbf{x}^{\ast}A\mathbf{x} 必為實數。考慮這兩個實數集合:

\Phi=\left\{\frac{\mathbf{x}^{\ast}A\mathbf{x}}{\mathbf{x}^{\ast}\mathbf{x}}~\vline~\mathbf{x}\neq\mathbf{0}\right\}

\Psi=\left\{\mathbf{x}^{\ast}A\mathbf{x}~\vline~\Vert\mathbf{x}\Vert=1\right\}

很明顯,\Psi\subset\Phi。另一方面,對於任意 \mathbf{x}\neq\mathbf{0},令 \mathbf{y}=\frac{\mathbf{x}}{\Vert\mathbf{x}\Vert},則 \Vert\mathbf{y}\Vert=1 而且

\frac{\mathbf{x}^{\ast}A\mathbf{x}}{\Vert\mathbf{x}\Vert^2}=\left(\frac{\mathbf{x}}{\Vert\mathbf{x}\Vert}\right)^{\ast}A\left(\frac{\mathbf{x}}{\Vert\mathbf{x}\Vert}\right)=\mathbf{y}^{\ast}A\mathbf{y}

故集合 \Phi 中的任何元素也都屬於 \Psi,所以 \Phi=\Psi。集合 \Phi 中的表示式 \frac{\mathbf{x}^{\ast}A\mathbf{x}}{\mathbf{x}^{\ast}\mathbf{x}} 稱為 Rayleigh quotient,它與特徵方程式 A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x} 有著密切的關係。因為 Hermitian 矩陣的特徵值為實數,我們可以假設 \lambda_1\ge\lambda_2\ge\cdots\ge\lambda_n,下面這個定理描述了 Rayleigh quotient 的範圍。

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每週問題 March 15, 2010

本週問題是證明若線性變換不改變二向量內積,則該線性變換為正交矩陣。

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Pow-March-15-10

可逆矩陣定理

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可逆矩陣定理貫穿線性代數的許多重要主題,如線性方程、線性獨立、向量空間、行列式、特徵值和奇異值;不論準備考試或自我充實,可逆矩陣定理好比「線代雞湯」是極佳的觀念複習濃縮菁華。本文並未給出可逆矩陣定理的完整證明,僅解釋部分陳述並說明常用的推論路徑。

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Schwarz 不等式

本文的閱讀等級:中級

Schwarz 不等式是一條應用廣泛的不等式,常見於線性代數的內積空間,數學分析的無窮級數,和連續函數乘積的積分。Schwarz 不等式給出內積空間中二向量內積大小與各自長度乘積的不等關係。設 \mathbf{x}\mathbf{y} 為內積空間中的二向量,Schwarz 不等式說:

\vert\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle\vert\le\Vert\mathbf{x}\Vert\cdot\Vert\mathbf{y}\Vert

其中 \left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle 代表 \mathbf{x}\mathbf{y} 的內積。

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每週問題 March 8, 2010

本週問題是關於 LU 分解的演算法。貼上此題的用意是要介紹一個 PA=LU 算法,既容易手算也適合電腦程式,此算法並未出現於兩年前錄製的教學光碟中。

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Pow-March-8-10

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PowSol-March-8-10

矩陣與複數的類比

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定義於複數域的 n 階方陣代表 \mathcal{C}^n 空間中的一個線性變換。除了少數特殊矩陣,如主對角矩陣、投影矩陣、旋轉矩陣,和反射矩陣等,學者經常無法清楚地掌握矩陣變換的確實行為,主要原因是人們很難想像高維度(n>3)向量空間,遑論向量在這些空間中的變換。欲洞察任意方陣的映射行為雖非易事,但也不是全然無跡可循,本文介紹一個認識矩陣行為的方法——透過矩陣與複數的類比來區分界定重要的特殊方陣。(對複數矩陣陌生的讀者,請先閱讀背景文章 “從實數域到複數域”。)

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你不能不知道的矩陣秩

本文的閱讀等級:初級

提及矩陣,我們經常以其外表尺寸描述它,例如,“矩陣 A 是一個 4\times 5 階矩陣”就表示 A 有四個列和五個行,總計 20 個元。如果矩陣的用途只是像電腦程式裡的陣列或數組(array)用來儲存物件,那麼表明幾何尺寸便足以規範其體量。在線性代數中,矩陣不僅是儲存體,它也代表向量空間之間的線性變換。很自然地,我們想要知道矩陣所表達的線性變換攜帶了多少訊息?淺白一點的說法是矩陣的“真實尺寸”為何?它與線性代數裡的空間概念又有何關聯?

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每週問題 March 1, 2010

本週問題是證明二子空間維度之和與子空間和的維度關係。

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Pow-March-1-10

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PowSol-March-1-10

2010 二月每週問題與解答彙整

2010 年二月的每週問題與解答彙整如下:

PowSol-Feb-1-10

PowSol-Feb-8-10

PowSol-Feb-15-10

PowSol-Feb-22-10

雷‧齊哈徒步抵達南極

極限跑者雷‧齊哈(Ray Zahab)分享他徒步跋涉至南極點並且破世界紀錄的實況——在雪中奔跑 33 天。

——引用自 TED 演講介紹

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雷‧齊哈說:「我從這次旅途中得到的,從所有旅途得到的,就是,站在這裡,我身上的每一絲信念確信我們能讓不可能的事變成可能。」

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